陶哲轩上手Copilot：不可思议，它能从定理名字猜出我想要的方向

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2023-10-23

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尝鲜 gpt-4 之后，陶哲轩又用上了 github copilot。

这一次，他的试用场景是学习 Lean 语言并利用其形式化数学定理。

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对于大模型来说，形式化的定理证明也算一种挑战。形式化证明本质上是一种计算机程序，但与 C++ 或 Python 中的传统程序不同，证明的正确性可以用证明助手（比如 Lean 语言）来验证。定理证明是代码生成的一种特殊形式，在评估上非常严格，没有让模型产生幻觉的空间。

而陶哲轩提到的定理，来自 10 月 9 日的一篇论文：

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论文中的这个证明只有不到一页，但陶哲轩的形式化证明使用了 200 行 Lean 语言。

举例来说，在论文中，陶哲轩只是断言对于任意 a>0 的情况，陶哲轩上手Copilot：不可思议，它能从定理名字猜出我想要的方向在实数上是凸的，因为这是一个常规的微积分练习，然后调用了 Jensen 不等式，但写出所有细节用了大约 50 行代码。

陶哲轩表示，Github copilot 能够正确预测各种例行验证的多行代码，并从定理的名字等线索中推断出他想要的方向，这种能力是「不可思议」的。

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Lean 的「重写」策略是不可或缺的，它可以通过有针对性的替换来修改冗长的假设或目标，无需完整地键入表达式就能对其进行操作。

「在用 LaTeX 撰写证明时，我经常粗略地模拟这种方法，将我要处理的冗长表达式从一行剪切粘贴到下一行，然后进行有针对性的编辑，但这有时会导致错字在文档中多行传播，因此能以自动和可验证的方式进行重写是件好事。」

论文中还提到一个不等式，即对于任意的 k, l, n，满足陶哲轩上手Copilot：不可思议，它能从定理名字猜出我想要的方向，则

陶哲轩上手Copilot：不可思议，它能从定理名字猜出我想要的方向陶哲轩表示下一个目标就是建立该不等式的简单版本，即论文中的不等式 (1.8)：

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这部分的证明主要还是利用微积分的知识，但有一个难点是需要使用渐近符号。陶哲轩表示后续的论证虽然会很耗时，但并不是特别困难。

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但目前的工具仍有一些局限性，例如，重写涉及绑定变量（如数列中的求和变量）的表达式并不总是很容易完成。他期待着有一天，人们可以简单地要求自然语言 LLM 进行此类转换……

^{参考链接：https://mathstodon.xyz/@tao/111271244206606941}

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